Optimisation de la prime

.title[
# Optimisation de la prime
]
.subtitle[
## ACT-1000
]
.author[
### J.P. Le Cavalier
]
.date[
### 10 décembre 2024
]

---

# La promesse d'un assureur

# Protéger ses assurés en cas de sinistre en échange d'une prime

# .

# Comment calculte-t-on cette prime?

---

## Définitions

Soit la constante `$\mu_i$` représentant la **prime pure** du client `$i$`

Soit la variable `$\pi_i$` représentant la **prime proposée** au client `$i$`

Soit la fonction `$p_i \left( \pi_i \right)$` représentant le **profit** pour le client `$i$` où
`$$p_i \left( \pi_i \right) = \pi_i - \mu_i$$`

---

## Définitions

.pull-left[
<img src="img/definition-1-1.png" width="100%" style="display: block; margin: auto;" />
]

| `$i$` | `$\mu_i$` |
|:---:|:-------:|
|  1  |   763   |
|  2  |   520   |
|  3  |   778   |
|  4  |   824   |
|  5  |   723   |
|  6  |   964   |
]

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## Définitions

Soit la fonction `$\gamma_i \left( \pi_i \right)$` représentant la **probabilité de conversion** du
client `$i$` avec une prime de `$\pi_i$`

Soit la fonction `$\tilde{p_i} \left( \pi_i \right)$` représentant le **profit espéré** pour le client
`$i$` où
`$$\tilde{p_i} \left( \pi_i \right) = \gamma_i \left( \pi_i \right) * p_i \left( \pi_i \right)$$`

Soit la fonction `$\gamma_\Sigma \left( \boldsymbol{\pi} \right)$` représentant le **taux de
conversion** du portefeuille où
`$$\gamma_\Sigma \left( \boldsymbol{\pi} \right) = \frac{\sum_{i = 1}^{n} \gamma_i \left( \pi_i \right)}{n}$$`

Soit la fonction `$\tilde{p_\Sigma} \left( \boldsymbol{\pi} \right)$` représentant le **profit total
espéré** du portefeuille où
`$$\tilde{p_\Sigma} \left( \boldsymbol{\pi} \right) = \sum\limits_{i = 1}^{n} \gamma_i \left( \pi_i \right) * p_i \left( \pi_i \right)$$`

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## Définitions

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## Un modèle de prime moyenne

On cherche les primes optimales `$\boldsymbol{\pi^*}$` définies tel que
`$$\boldsymbol{\pi^*} = \underset{\boldsymbol{\pi} \, \in \, {\mathbb{R}^+}^n}{\operatorname{arg\,min}} \left( \sum\limits_{i = 1}^{n} \left( \pi_i - \overline{\mu} \right)^2 \right)$$`

Comme chaque terme de la somme ne touche qu'une dimension à optimiser, on peut réécrire le problème
comme étant
`$$\pi_i^* = \underset{\pi_i \, \in \, \mathbb{R}^+}{\operatorname{arg\,min}} \left( \pi_i - \overline{\mu} \right)^2$$`

On obtient alors
`$$\pi_i^* = \overline{\mu}$$`

---

## Un modèle de prime moyenne

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## Un modèle de prime moyenne

<br>

|  `$i$`  | `$\mu_i$` | `$\pi_i^*$` | `$\gamma_i\left(\pi_i^*\right)$` | `$\tilde{p_i}\left(\pi_i^*\right)$` |
|:-----:|:-------:|:---------:|:------------------------------:|:---------------------------------:|
|   1   |   763   |    762    |              0.57              |                -1                 |
|   2   |   520   |    762    |              0.00              |                 0                 |
|   3   |   778   |    762    |              0.69              |                -11                |
|   4   |   824   |    762    |              0.84              |                -52                |
|   5   |   723   |    762    |              0.10              |                 4                 |
|   6   |   964   |    762    |              1.00              |               -202                |
| Total |  4572   |   4572    |              0.53              |               -262                |

---
class: inverse center middle

# Conséquences de ce modèle?

# .

### On se fait anti-sélectionner!

---

## Un modèle de prime pure

En utilisant le même argument d'indépendance des termes, on obtient
`$$\pi_i^* = \mu_i$$`

---

## Un modèle de prime pure

---

## Un modèle de prime pure

<br>

|  `$i$`  | `$\mu_i$` | `$\pi_i^*$` | `$\gamma_i\left(\pi_i^*\right)$` | `$\tilde{p_i}\left(\pi_i^*\right)$` |
|:-----:|:-------:|:---------:|:------------------------------:|:---------------------------------:|
|   1   |   763   |    763    |              0.56              |                 0                 |
|   2   |   520   |    520    |              0.26              |                 0                 |
|   3   |   778   |    778    |              0.62              |                 0                 |
|   4   |   824   |    824    |              0.68              |                 0                 |
|   5   |   723   |    723    |              0.20              |                 0                 |
|   6   |   964   |    964    |              0.57              |                 0                 |
| Total |  4572   |   4572    |              0.48              |                 0                 |

---
class: inverse center middle

# Comment peut-on améliorer ce modèle?

# .

### En changeant la fonction objective à optimiser!

---

## Un modèle de rentabilité

On cherche les primes optimales `$\boldsymbol{\pi^*}$` définies tel que
`$$\begin{align*}
\boldsymbol{\pi^*} & = \underset{\boldsymbol{\pi} \, \in \, {\mathbb{R}^+}^n}{\operatorname{arg\,max}} \ \tilde{p_\Sigma} \left( \boldsymbol{\pi} \right) \\
& = \underset{\boldsymbol{\pi} \, \in \, {\mathbb{R}^+}^n}{\operatorname{arg\,max}} \left( \sum\limits_{i = 1}^{n} \gamma_i \left( \pi_i \right) * \left( \pi_i - \mu_i \right) \right)
\end{align*}$$`

En utilisant le même argument d'indépendance des termes, on obtient
`$$\pi_i^* = \underset{\pi_i \, \in \, \mathbb{R}^+}{\operatorname{arg\,max}} \left( \gamma_i \left( \pi_i \right) * \left( \pi_i - \mu_i \right) \right)$$`

On dérive l'expression par rapport à `$\pi_i$`, on égale à 0 et on obtient
`$$\gamma_i^\prime \left(\pi_i^* \right) * \left( \pi_i^* - \mu_i \right) + \gamma_i \left( \pi_i^* \right) = 0$$`

On pourrait faire une hypothèse supplémentaire sur la forme de `$\gamma_i \left( \pi_i \right)$` afin
d'obtenir `$\pi_i^*$` algébriquement, mais on procédera plutôt de manière numérique.

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## Un modèle de rentabilité

---

## Un modèle de rentabilité

<br>

|  `$i$`  | `$\mu_i$` | `$\pi_i^*$` | `$\gamma_i\left(\pi_i^*\right)$` | `$\tilde{p_i}\left(\pi_i^*\right)$` |
|:-----:|:-------:|:---------:|:------------------------------:|:---------------------------------:|
|   1   |   763   |    798    |              0.24              |                 8                 |
|   2   |   520   |    547    |              0.10              |                 3                 |
|   3   |   778   |    847    |              0.28              |                20                 |
|   4   |   824   |    953    |              0.31              |                40                 |
|   5   |   723   |    777    |              0.08              |                 4                 |
|   6   |   964   |   1015    |              0.25              |                13                 |
| Total |  4572   |   4937    |              0.21              |                87                 |

---
class: inverse center middle

# Pourquoi ce modèle peut-il être inadéquat?

# .

### Parce qu'il ne tient pas compte de la croissance!

---

## Un modèle de croissance

On cherche les primes optimales `$\boldsymbol{\pi^*}$` définies tel que
`$$\begin{align*}
\boldsymbol{\pi^*} & = \underset{\boldsymbol{\pi} \, \in \, {\mathbb{R}^+}^n}{\operatorname{arg\,max}} \ \gamma_\Sigma \left( \boldsymbol{\pi} \right) \\
& = \underset{\boldsymbol{\pi} \, \in \, {\mathbb{R}^+}^n}{\operatorname{arg\,max}} \left( \frac{\sum_{i = 1}^{n} \gamma_i \left( \pi_i \right)}{n} \right)
\end{align*}$$`

En utilisant le même argument d'indépendance des termes, on obtient
`$$\pi_i^* = \underset{\pi_i \, \in \, \mathbb{R}^+}{\operatorname{arg\,max}} \ \gamma_i \left( \pi_i \right)$$`

Comme la fonction `$\gamma_i \left( \pi_i \right)$` est décroissante sur `$\mathbb{R}^+$`, on obtient
directement
`$$\pi_i^* = 0$$`

---

## Un modèle de croissance

---

## Un modèle de croissance

<br>

|  `$i$`  | `$\mu_i$` | `$\pi_i^*$` | `$\gamma_i\left(\pi_i^*\right)$` | `$\tilde{p_i}\left(\pi_i^*\right)$` |
|:-----:|:-------:|:---------:|:------------------------------:|:---------------------------------:|
|   1   |   763   |     0     |               1                |               -763                |
|   2   |   520   |     0     |               1                |               -520                |
|   3   |   778   |     0     |               1                |               -778                |
|   4   |   824   |     0     |               1                |               -824                |
|   5   |   723   |     0     |               1                |               -723                |
|   6   |   964   |     0     |               1                |               -964                |
| Total |  4572   |     0     |               1                |               -4572               |

---

# Rentabilité OU croissance?

![](https://media.giphy.com/media/2dff4puq91ieVURkXz/giphy.gif)

### On n'a qu'à optimiser les deux en même temps!

---

## Un modèle de croissance rentable

On cherche les primes optimales `$\boldsymbol{\pi^*}$` définies tel que
`$$\begin{align*}
\boldsymbol{\pi^*} & = \underset{\boldsymbol{\pi} \, \in \, {\mathbb{R}^+}^n}{\operatorname{arg\,max}} \left( \gamma_\Sigma \left( \boldsymbol{\pi} \right),\ \tilde{p_\Sigma} \left( \boldsymbol{\pi} \right) \right) \\
& = \underset{\boldsymbol{\pi} \, \in \, {\mathbb{R}^+}^n}{\operatorname{arg\,max}} \left( \frac{\sum_{i = 1}^{n} \gamma_i \left( \pi_i \right)}{n}, \ \sum\limits_{i = 1}^{n} \gamma_i \left( \pi_i \right) * \left( \pi_i - \mu_i \right) \right)
\end{align*}$$`

Il n'y a pas de solution unique à ce problème d'optimisation, on peut le résoudre en fonction d"une
variable libre `$\lambda$` qui représente le compromis entre rentabilité et croissance. On obtient
alors
`$$\pi_i^* \left( \lambda \right) = \underset{\pi_i \, \in \, \mathbb{R}^+}{\operatorname{arg\,max}} \left( \lambda * \gamma_i \left( \pi_i \right) + \gamma_i \left( \pi_i \right) * \left( \pi_i - \mu_i \right) \right)$$`

Encore une fois, on optimise numériquement en fonction de `$\lambda$`.

---

## Un modèle de croissance rentable

---

## Un modèle de croissance rentable

|  `$i$`  | `$\mu_i$` | `$\pi_i^*$` | `$\gamma_i\left(\pi_i^*\right)$` | `$\tilde{p_i}\left(\pi_i^*\right)$` |
|:-----:|:-------:|:---------:|:------------------------------:|:---------------------------------:|
|   1   |   763   |    783    |              0.36              |                 7                 |
|   2   |   520   |    528    |              0.20              |                 2                 |
|   3   |   778   |    833    |              0.34              |                19                 |
|   4   |   824   |    938    |              0.34              |                39                 |
|   5   |   723   |    758    |              0.11              |                 4                 |
|   6   |   964   |   1000    |              0.33              |                12                 |
| Total |  4572   |   4841    |              0.28              |                83                 |
]

|  `$i$`  | `$\mu_i$` | `$\pi_i^*$` | `$\gamma_i\left(\pi_i^*\right)$` | `$\tilde{p_i}\left(\pi_i^*\right)$` |
|:-----:|:-------:|:---------:|:------------------------------:|:---------------------------------:|
|   1   |   763   |    752    |              0.67              |                -8                 |
|   2   |   520   |    487    |              0.66              |                -22                |
|   3   |   778   |    799    |              0.52              |                11                 |
|   4   |   824   |    898    |              0.46              |                34                 |
|   5   |   723   |    708    |              0.25              |                -4                 |
|   6   |   964   |    965    |              0.56              |                 1                 |
| Total |  4572   |   4608    |              0.52              |                12                 |
]

---

## Un modèle de croissance rentable

---
class: inverse center middle

# C'est techniquement faisable!

# Mais est-ce éthiquement acceptable?

---
class: thanks-page
background-image: url(logo.svg)
background-size: 320px
background-position: 5% 90%

# Merci!

<a href="mailto:jplecavalier@me.com">
  <svg aria-hidden="true" role="img" viewBox="0 0 512 512" style="height:1em;width:1em;vertical-align:-0.125em;margin-left:auto;margin-right:auto;font-size:inherit;fill:#FEFEFC;overflow:visible;position:relative;"><path d="M16.1 260.2c-22.6 12.9-20.5 47.3 3.6 57.3L160 376V479.3c0 18.1 14.6 32.7 32.7 32.7c9.7 0 18.9-4.3 25.1-11.8l62-74.3 123.9 51.6c18.9 7.9 40.8-4.5 43.9-24.7l64-416c1.9-12.1-3.4-24.3-13.5-31.2s-23.3-7.5-34-1.4l-448 256zm52.1 25.5L409.7 90.6 190.1 336l1.2 1L68.2 285.7zM403.3 425.4L236.7 355.9 450.8 116.6 403.3 425.4z"/></svg> jplecavalier@me.com
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